Skip to content

Правило лопиталя раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя

Скачать правило лопиталя раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя EPUB

Лопиталя значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним). Решение пределов методом Лопиталя. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод Лопиталя. Правило Лопиталя и правило неопределённостей вида 0/0, ∞/∞ и других через равенство предела правил функций лопиталя предела отношений их помощей. Теорема дает правило раскрытия неопределенности вида сводящее вычисление предела в точке а отношения двух функций к вычислению предела в этой точке отношения производных неопределенностей функций.

Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.

Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов. 1) Приводим неопределенность к виду 0/0 или ∞/∞. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.  Это означает, что данную задачу решить с помощью правила Лопиталя нельзя. Нужно применить другой метод (см. пример ниже).

6) Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2). Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует.  Это неопределенность вида. Для ее раскрытия применим правило Лопиталя.

Пусть. Находим производные. В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться.

Вот другие виды неопределенностей: Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки. Неопределенности.

Перед вами подробное описание правила Лопиталя с примерами - вычисление предела отношения двух функций может быть заменено на предел отношения производных этих функций.  (Правило Лопиталя). Пусть функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ удовлетворяют следующим условиям: 1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки $a$, кроме, может быть, самой точки $a$. Правило Лопиталя было открыто шведским математиком Иоганном Бернулли, который затем рассказал в письме о нём Лопиталю.

Лопиталь же опубликовал это правило в первом учебнике по дифференциальному исчислению в году со своим авторством. Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределенностям следующего вида: $\frac{0}{0} \begin{array}{ccc} { {\frac{\infty }{\infty } } \end{array}$. Вместо нуля в первом выражении может быть какая-либо бесконечно малая величина. В общем случае правилом Лопиталя можно воспользоваться, если и в числителе, и в знаменателе одновременно нуль ил.

Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей и надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций. Пример: Найти предел. При попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида.

Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя: f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex. Тогда. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, проверяя каждый раз условия теорем 1 или 2. Пример.Вычислить. Решение. Имеем неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя дважды, получим. Пример.Вычислить, если. Решение. Имеем неопределенность вида.

Применяя правило Лопиталя n раз, найдем.. Получили, что при степенная функция с натуральным показателем растет медленнее, чем показательная функция, основание которой больше единицы.

Раскрытие неопределённостей вида и. Указанные неопределённости можно свести к неопределённости вида или с помощью алгебраических преобразований функции под з. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида и дает правило Лопиталя, сущность которого заключается в следующей теореме.

Теорема.  Неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞ с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям 0/0 или ∞/∞ и затем раскрываются по правилу Лопиталя. Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти при условии.

В результате преобразования (либо) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞). Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя. При решении задач, связанных с вычислением пределов функций, часто непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённым выражениям вида: Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием соответствующей неопределенности.

Довольно часто справиться с этой проблемой помогает так называемое правило Лопиталя, которое можно сформулировать в виде теоремы. Теорема.  Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования: Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают: что сводит задачу к неопределенности или. Примеры с решениями.

fb2, rtf, PDF, txt