Skip to content

Правила вычисления криволинейного интеграла

Скачать правила вычисления криволинейного интеграла djvu

Условия независимости криволинейного интеграла от интеграла интегрирования. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант): где – обратная функция, выражающая линию. Криволинейные интегралы являются обобщением определенного интеграла в случае, когда область вычисленья это некоторая криволинейная.

Вычисление криволинейного интеграла. Вычисление криволинейных интегралов: теория и примерыКриволинейные интегралы правила родаБольше примеров вычисления криволинейных интеграловКриволинейные интегралы - обобщение понятия определённого интеграла.

Криволинейный интеграл 1 рода. Определение криволинейного интеграла 1 рода. Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L, f(P) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А0 = А, А1, А2, , Аn – 1, Аn = B – произвольное разбиение дуги АВ и Pi – произвольные точки на частичных дугах È Аi – 1Ai, длины которых Dli (i = 1, 2, , n).

Тогда существует предел последовательности интегральных сумм. при n ® ¥ и max Dli ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками Ai, ни от выбора точек Pi на частичных дугах È Аi – 1Ai (i = 1, 2, , n). Этот предел называе. Криволинейный интеграл 1 рода. Пусть на декартовой плоскости задана некоторая непрерывная кривая, в каждой точке которой определена функция двух независимых переменных и.

Разобьем заданную дугу на частей точками,. На каждой из элементарных дуг выберем произвольную точку и вычислим в ней значение функции  Свойства криволинейного интеграла 2 рода.

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак: 2. Если точка – внутренняя точка на дуге, то криволинейный интеграл второго рода можно представить в виде следующей суммы: Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла. Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом.

Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант): где – обратная функция, выражающая линию. В нашей задаче: При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.

§ Правило вычисления криволинейных интегралов первого рода. Опр.: Кривая L Называется гладкой на сегменте, если производные, функций, являются непрерывными на сегменте и не равняются нулю одновременно.  Функция F(M) Называется кусочно непрерывной вдоль кривой L, если для нее выполнены все требования непрерывности за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода. Теорема. Пусть L является кусочно гладкой кривой, а функция F(X,Y) – кусочно непрерывная функция вдоль кривой L.

Тогда существует следующий криволинейный интеграл первого рода, вычисляемый по формуле. Замечания. [latexpage] Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y).

Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М0, М1. Применяя правила вычисления криволинейного интеграла, найдем. а) вдоль отрезка. б) вдоль дуги параболы: Таким образом, мы видим, что значения криволинейного интеграла зависят от пути интегрирования, т.

е. зависят от вида линии, соединяющей точки А и В. Наоборот, как нетрудно проверить, криволинейный интеграл вдоль тех же линий, соединяющих точки дает одно и то же значение, равное. Разобранные примеры показывают, что криволинейные интегралы, вычисленные по различным путям, соединяющим две данные точки, в одних случаях различны между собой, а в других случаях принимают одно и то же значение. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Криволинейный интеграл \(I\) рода обладает следующими свойствами: Интеграл не зависит от ориентации кривой; Пусть кривая \({C_1}\) начинается в точке \(A\) и заканчивается в точке \(B,\) а кривая \({C_2}\) начинается в точке \(B\) и заканчивается в точке \(D\) (рисунок \(2\)).

Тогда их объединением будет называться кривая \({C_1} \cup {C_2},\) которая проходит от \(A\) к \(B\) вдоль кривой \({C_1}\) и затем от \(B\). к \(D\) вдоль кривой \({C_2}.\) Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение \[\int\limits_{{C_1} \cup {C_2}}.

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примерыКриволинейные интегралы второго родаБольше примеров вычисления криволинейных интеграловКриволинейные интегралы - обобщение понятия определённого интеграла.

fb2, EPUB, PDF, doc